경제학의 가장 기본적인 분석 도구인 콥-더글러스 생산함수의 핵심에는 '대체탄력성 1'이라는 고유한 특징이 자리 잡고 있습니다.
이 글은 콥-더글러스 생산함수의 고유한 특징인 대체탄력성(σ=1)을 심층 분석합니다.
대체탄력성 '1'은 첫째, 요소 투입 비율이 상대 가격 비율 변화에 정비례하여 반응하고, 둘째, 요소 가격 변화와 무관하게 소득분배율이 불변하는 두 가지 핵심적인 결과를 낳습니다.
본문에서는 이러한 특성들을 구체적인 예시와 비용 최소화 및 이윤 극대화 원리에 입각한 수학적 증명을 통해 명확히 규명합니다.
◆대체 탄력성의미
대체 탄력성은 '두 생산요소의 가격 비율이 1% 변할 때, 두 생산요소의 사용량 비율은 몇 % 변하는가?'를 나타내는 지표입니다.
이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
σ= dln(K/L) ÷ dln(w/r)
여기서,
K/L: 자본/노동 투입 비율 (사용량 비율)
w/r: 노동/자본 상대 가격 비율 (w=임금, r=자본임대료)
즉, σ는 요소 상대가격비 w/r가 변할 때, 기업이 자본/노동 비율인 K/L을 얼마나 조정하는지를 측정하는 지표입니다. 생산방법을 음식의 레시피로 비유할 때, 대체탄력성은 생산과정의 레시피가 가격변화에 얼마나 유연하게 바뀌는지를 의미합니다.
◆ 콥더글러스 함수의 대체탄력성 1의 특징 두가지
콥더글러스 함수의 대체탄력도가 1은 요소간 사용량 비율이 요소가격비율변화에 선형적으로 반응하며, 요소가격 변화와 무관하게 소득분배율이 일정하다는 특징을 가지고 있습니다.
(1) 요소 가격 비율이 변할 때, 요소간 사용량 비율이 선형적으로 반응
대체 탄력성이 정확히 1이라는 것은, 요소 가격 비율이 변할 때, 요소간 사용량 비율이 선형적으로 반응한다는 뜻입니다. 즉 요소 간 사용량 비율이 요소 가격 비율의 변화에 정비례(proportional)하여 반응한다는 의미입니다.
따라서 대체탄력성(σ)이 1이라는 것은 "노동 대비 자본의 상대적 가격이 X% 변할 때, 기업이 비용 최소화를 위해 노동 대비 자본의 투입 비율을 정확히 X%만큼 조정한다"는 뜻입니다.
예를 들어, A 커피 숍은 바리스타(노동, L)와 자동 커피머신(자본, K)을 사용하고, 대체탄력성이 정확히 1이라고 가정합니다.
①20×1년
•바리스타 시간당 임금(w) = 20,000원
•커피머신 시간당 렌탈료(r) = 20,000원
•가격 비율 (w/r) = 1
• 바리스타 10명과 커피머신 10대
•사용량 비율 (K/L) = 10 / 10 = 1
•대체탄력도 = 1
②20×2년: 임금 20%인상, 머신임대료 불변
•바리스타 시간당 임금(w) = 24,000원
•커피머신 시간당 렌탈료(r) = 20,000원
• w/r = 24,000 / 20,000 = 1.2 --> 20×1년 가격 비율에 비해 20% 상승
③사장의 반응 : σ=1의 정비례 반응
노동의 상대 가격이 20% 비싸졌으므로, 사장은 커피숍 규모를 줄이면서 자본의 상대적 투입 비율을 정확히 20%로 조절하여 대체탄력도 1을 실현하고자 합니다.
•목표 사용량 비율 (K/L) = 기존 비율 × (1 + 0.20) = 1 × 1.2 = 1.2
이 새로운 비율을 달성하기 위해 사장은 고용과 투자를 조절합니다. 바리스타는 5명 으로 줄이면서, 커피머신을 6대로 줄입니다.
이때의 사용량 비율은 K/L = 6 / 5 = 1.2가 됩니다.
이처럼 사장은 노동의 상대적 가격이 20% 오르자, 노동 대비 자본의 사용량을 정확히 20% 늘리는 '정비례' 반응을 보여, 대체탄력성 1을 실현하였습니다.
(2) 소득분배율이 요소가격변화와 무관하게 일정
대체탄력도 1의 독특한 특징은 총소득에서 노동과 자본이 차지하는 비중(소득 분배율)이 요소 가격 변화에도 불구하고 일정하게 유지된다는 것입니다.
즉 요소 가격(예: 임금)이 변해도, 기업이 노동과 자본의 사용량을 조절하여 결과적으로 총비용에서 각 요소가 차지하는 비용 비중(Cost Share)이 일정하게 유지된다는 겁니다.
따라서 전체 파이(총소득)에서 노동과 자본이 가져가는 조각의 크기는 그대로 유지됩니다. 콥-더글러스 생산함수가 비현실적이라는 비판을 받는 이유입니다.
◆ 대체탄력성1의 구체적 의미 (1) : σ=1의 경우, (w/r)에 (K/L)이 선형반응,
예를 들어 대체 탄력도 1의 경우, 노동자의 임금이 자본 임대료보다 10% 비싸지면(노동/자본의 상대가격이 10% 오르면), 기업은 비용최소화를 위해 노동자 수를 줄이고 자본(기계)을 늘립니다. 이 때, 새로운 생산 레시피는 '노동 1단위당 자본량(K/L)'을 정확히 10% 늘립니다.
이처럼 대체탄력도 1은 상대가격변화(w/r)에 투입비율(K/L)이 선형적으로 반응한다는 뜻입니다.
이를 수식으로 입증하면 다음과 같습니다.
① 한계생산물 계산 : MPk =α•(Y/K), MPL=(1-α)•(Y/K)
Cobb-Douglas 생산함수가 다음과 같습니다.
Y=A •K^α •L^(1−α)
자본의 한계생산물 MPk 는 자본에 대한 생산함수의 편미분으로 구합니다.
즉 MPk = ∂Y/∂K =αA •K^(α−1) •L^(1−α)
= α•(Y/K)
여기서 α•(Y/K)는 생산함수 ‘Y = A •K^α •L^(1−α)’를 K^(α−1)로 정리하여, 그 값을 MPk 식의 K^(α−1)에 대입하여 나온 값입니다.
같은 방법으로, 노동의 한계생산물 MPL 은 노동에 대한 생산함수의 편미분으로 구합니다.
즉 MPL=(1-α)A •K^α •L^(−α)
= (1-α) •(Y/L)
② 비용최소화 조건: MPk/MPL = r/w → (α/(1-α)) •(L/K) = r/w
비용최소화를 위한 최적 생산조합의 식은 이렇습니다.
MPk/r= MPL/w → MPk/MPL = r/w
위 식의 좌변 MPk/MPL = (α/(1-α)) •(L/K)의 증명은 다음과 같습니다.
①에서
MPk = α•(Y/K), MPL = (1-α) •(Y/L)이므로, 이 식들을 비용최소화 식에 대입하면,
MPk/MPL= [α•(Y/K)] ÷ [(1-α) •(Y/L)] = (α/(1-α)) •(L/K)
따라서 ‘MPk/MPL = r/w’는 ‘(α/(1-α)) •(L/K) = r/w’
③ 자본/노동 비율, 노동/자본비율 : K/L =(α/(1-α))• (w/r)
②의 ‘(α/(1-α)) •(L/K) = r/w’를 K/L 또는 L/K 로 정리하면,
K/L =(α/(1-α))• (w/r)
L/K =((1-α)/α)• (r/w)
④ 자본/노동투입비율과 상대가격간의 관계 : K/L = f(w/r)
K/L =(α/(1-α))• (w/r)이므로,
K/L = f(w/r)
위의 함수식은 자본/노동 투입비율이 상대가격에 선형반응함을 보입니다.
결국 콥더글러스 생산함수는 요소 가격비인 w/r가 변할 때, 자본/노동 비율인 K/L는 상대가격에 선형반응합니다.
◆ σ= 1의 구체적 의미 (2) : 요소의 상대가격이 변해도 소득분배율(비용점유율)은 일정
Cobb-Douglas 함수에서 σ=1일 때, 노동의 상대가격 w/r이 10% 상승하면, 기업은 자본/노동 비율, K/L을 10% 증가시켜 생산 구조를 조정합니다. 즉, 노동을 줄이고 자본을 더 많이 사용하게 됩니다.
그런데, 특이한 점은, σ=1일 때, 요소의 상대가격이 변해도, 총비용에서 각 요소가 차지하는 파이의 크기는 변하지 않는다는 점입니다. 즉 상대가격 변화가 발생해도, 노동 소득분배율 = wL/C(총비용), 자본 소득분배율 = rK/C은 일정하게 유지됩니다.
이는 Cobb-Douglas 함수에서 α, β(생산탄력성)에 이미 소득분배율을 내장하고 있기 때문입니다. 즉 콥 더글러스함수에서 요소의 비용비중(cost share)이 항상 일정한 이유는 바로 지수 계수(예: α, 1−α)가 고정되어 있기 때문입니다.
이는 다음의 과정으로 이해될 수 있습니다.
① 비용최소화 조건에서 유도되는 최적 투입
콥더글러스 함수의 한계생산물은, 앞의 분석에 따라, 다음과 같습니다.
MPk = ∂Y/∂K =αA •K^(α−1) •L^(1−α) = α•(Y/K)
MPL=(1-α)A •K^α •L^(−α) = (1-α) •(Y/L)
비용최소화 조건에서 한계생산물은 요소가격에 비례해야 합니다.
MPk = r/P
MPL = w/P
②요소별 지출비중 계산
총비용에서 자본이 차지하는 비중은 다음과 같습니다.
Sk = rK/(rK + wL)
MPk = α•(Y/K) = r/P → rK=α•PY
MPL= (1-α) •(Y/L)=w/p → wL=(1-α) •PY
따라서 전체비용
C= rK + wL = α•PY + (1-α) •PY =PY
•자본의 비용 점유율
Sk = rK/C = (α•PY)/PY = α
•노동의 비용 점유율
SL = wL/C = ((1-α) •PY) /PY = 1-α
이에 따라, 콥더글러스 함수는 각 요소가 전체비용에서 차지하는 비중을 항상 일정하게 유지합니다.
③ ‘rk/C = α 식’에서 α가 일정한 이유
그런데 ‘rk/C = α 식’에서 α가 일정한 것은 기업의 비용최소화 전략의 결과입니다.
예를 들어, 자본 가격(r)이 2에서 4로 오릅니다. 노동 가격(w)은 불변입니다.
가격이 변하기 전, 기업은 비용을 최소화하는 최적의 상태, 즉 MPk / r = MPL / w (비용 1원당 한계생산량이 동일한 상태)를 유지하고 있었습니다.
하지만 r이 오르면서 MPk / r 값이 작아졌으므로, 등식이 깨집니다. (MPk / r < MPL / w)
이는 이제 자본에 1원을 쓰는 것이 노동에 1원을 쓰는 것보다 비효율적이라는 뜻입니다.
이윤을 추구하는 기업은 당연히 이 비효율을 바로잡으려 합니다. 비싸진 자본(K)의 투입을 줄이기 시작합니다. K를 줄이자 수확체감 효과에 따라 MPK가 상승합니다.
따라서 MPk / r은 다시 올라가며 ‘MPk / r = MPL / w’의 균형이 회복됩니다.
또한 ‘rk/C(PY) = α’에서, 그 결과로 도달하는 새로운 균형점에서는 총소득 대비 자본소득의 비중이 다시 정확히 α로 돌아옵니다.
이러한 관계는 다음으로 요약됩니다.
r 상승 → 비용 최소화를 위해 기업이 K를 줄임 → 새로운 균형점에서 rK/Y가 다시 α가 됨
이처럼 콥더글러스 함수에서 요소가격변화와 무관하게 자본소득 비율 α가 일정한 것은 기업의 비용최소화 전략의 결과입니다
■(참고) MPk = r/P, MPL = w/P
앞의 ‘σ= 1의 의미 (2) ‘ 중 ’① 비용최소화 조건에서 유도되는 최적 투입’에서 MPk = r/P, MPL = w/P은 이윤 극대화 조건을 의미합니다.
기업이 이윤을 극대화할 때, MPk = r/P, MPL = w/P의 도출 과정은 다음과 같습니다.
①이윤함수
이 식이 나온 배경은 기업의 이윤극대화입니다.
기업의 목적은 총수입에서 총비용을 차감한 이윤의 극대화입니다.
총수입은 가격(P)에 생산량을 곱한 것이며, 생산량은 생산함수,Y=F(K,L)로 표기될 수 있습니다. 따라서 총수입은 P⋅F(K,L)로 나타낼 수 있습니다.
총비용은 크게 자본비용과 노동비용으로 구성됩니다. 자본비용은 자본가격(임대료 r)에 자본투입량(K)을 곱한 값이며, 노동비용은 노동가격(임금 w)에 노동투입량(L)을 곱한 값입니다. 따라서 자본비용은 rK, 노동비용은 wL로 표시될 수 있습니다.
이에 따라, 이윤함수(π)는 다음과 같습니다.
π =총수입-총비용= P⋅F(K,L) - rK – wL
② 이윤극대화
이윤을 K, L에 대해 각각 편미분하고 0으로 설정합니다.
자본 K에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
∂π/∂K= P•(∂F/∂K ) - r = 0
(∂F/∂K ) = r / P
MPk=r/P
자본 L에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
∂π/∂L= P•(∂F/∂L ) - w = 0
(∂F/∂L ) = w / P
MPL=w/P
③ MPk=r/P, MPL=w/P의 의미 : 이윤극대화 조건
MPk MPL은 각각 자본 한 단위를 늘릴 때 생산 증가분, 노동 한 단위 늘릴 때 생산증가분을 의미합니다.
r/P, w/P는 각각 자본 1단위당 실질 가격, 노동 1단위당 실질 임금을 의미합니다.
따라서 MPk=r/P, MPL=w/P은 자본 한 단위를 늘릴 때의 생산 증가분이 자본 1단위당 실질 가격과 같을 때까지 자본을 투입한다는 뜻입니다.
MPL=w/P은 노동 한 단위를 늘릴 때의 생산 증가분이 노동 1단위당 실질 임금과 같을 때까지 노동을 투입한다는 뜻입니다.
결국 MPk=r/P, MPL=w/P는 한계생산물과 요소의 실질비용이 같을 때까지 요소를 투입하면, 기업의 이윤이 극대화 된다는 뜻입니다.
